Nguyên hàm từng phần là một trong những phương pháp quan trọng trong Chương trình Toán THPT, đặc biệt xuất hiện nhiều ở lớp 12 và các kỳ thi tốt nghiệp. Khi gặp những biểu thức tích của hai hàm số mà không thể tìm nguyên hàm trực tiếp, phương pháp này trở thành công cụ rất hữu ích. Tuy nhiên, nhiều học sinh vẫn cảm thấy khó nhớ công thức, không biết khi nào áp dụng và thường chọn sai hàm để đặt. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ bản chất, công thức, cách làm và mẹo giải nhanh về nguyên hàm từng phần một cách dễ hiểu nhất. Cùng Toan.vn tìm hiểu nhé!
Nguyên hàm từng phần là một trong những phương pháp quan trọng trong Chương trình Toán THPT
Nguyên hàm từng phần là gì?
Nguyên hàm từng phần là phương pháp tính nguyên hàm dựa trên công thức đạo hàm của tích hai hàm số. Thay vì tính trực tiếp một biểu thức phức tạp, ta tách thành hai phần để xử lý dễ hơn.
Phương pháp này thường được sử dụng khi biểu thức dưới dấu nguyên hàm có dạng tích như: đa thức nhân logarit, đa thức nhân hàm mũ, đa thức nhân lượng giác hoặc hàm lượng giác nhân logarit.
Ví dụ các dạng thường gặp:
- ∫x.e^x dx
- ∫x.sinx dx
- ∫lnx dx
- ∫x².cosx dx
Nếu nhận diện đúng dạng bài, việc áp dụng Nguyên hàm từng phần sẽ giúp giải bài toán nhanh và chính xác hơn.
Công thức Nguyên hàm từng phần
Từ công thức đạo hàm của tích hai hàm số:
(u.v)’ = u’.v + u.v’
Suy ra công thức nguyên hàm:
∫u dv = u.v – ∫v du
Trong đó:
- u là hàm số được chọn để lấy vi phân
- dv là phần còn lại
- du là vi phân của u
- v là nguyên hàm của dv
Đây là công thức cốt lõi của Nguyên hàm từng phần mà học sinh cần ghi nhớ.
Ý nghĩa của công thức
Nhiều học sinh học thuộc công thức nhưng không hiểu bản chất nên dễ nhầm lẫn. Thực tế, phương pháp này giúp biến một nguyên hàm khó thành một nguyên hàm dễ hơn.
Ví dụ:
∫x.e^x dx
Ta chọn:
u = x ⇒ du = dx
dv = e^x dx ⇒ v = e^x
Áp dụng công thức:
∫x.e^x dx = x.e^x – ∫e^x dx = x.e^x – e^x + C
Kết quả:
= e^x(x – 1) + C
Như vậy, từ bài toán tích của hai hàm, ta chuyển thành nguyên hàm đơn giản hơn.
Khi nào dùng Nguyên hàm từng phần?
Không phải bài nào cũng dùng phương pháp này. Bạn nên áp dụng Nguyên hàm từng phần khi gặp các dạng sau.
Dạng 1: Đa thức nhân hàm mũ
Ví dụ:
Đa thức sẽ giảm bậc sau mỗi lần lấy đạo hàm nên rất thuận lợi.
Dạng 2: Đa thức nhân lượng giác
Ví dụ:
Sau khi lấy đạo hàm của đa thức, biểu thức đơn giản hơn.
Dạng 3: Hàm logarit
Ví dụ:
∫lnx dx
Ta viết lại:
∫lnx dx = ∫1.lnx dx
Chọn:
u = lnx
dv = dx
Dạng 4: Hàm lượng giác ngược hoặc logarit đặc biệt
Ví dụ:
Đây là những bài toán rất phù hợp với Nguyên hàm từng phần.
Cách chọn u và dv dễ nhớ
Việc chọn u và dv quyết định bài giải có ngắn gọn hay không. Nếu chọn sai, bài toán sẽ rối hơn. Mẹo phổ biến là ưu tiên chọn u theo thứ tự:
Quy tắc LIATE
- L: Logarithm (lnx, logx)
- I: Inverse trig (arctanx, arcsinx)
- A: Algebraic (x, x², căn x)
- T: Trigonometric (sinx, cosx)
- E: Exponential (e^x, a^x)
Ưu tiên hàm đứng trước làm u.
Ví dụ:
∫x.e^x dx
x thuộc Algebraic, e^x thuộc Exponential nên chọn:
u = x, dv = e^x dx
Ví dụ:
∫lnx dx
lnx thuộc Logarithm nên chọn:
u = lnx, dv = dx
Đây là mẹo rất hiệu quả khi làm bài Nguyên hàm từng phần.
Các ví dụ minh họa chi tiết
Ví dụ 1: Tính ∫x.cosx dx
Chọn:
u = x ⇒ du = dx
dv = cosx dx ⇒ v = sinx
Áp dụng công thức:
∫x.cosx dx = x.sinx – ∫sinx dx
= x.sinx + cosx + C
Kết quả:
∫x.cosx dx = x.sinx + cosx + C
Ví dụ 2: Tính ∫lnx dx
Chọn:
u = lnx ⇒ du = 1/x dx
dv = dx ⇒ v = x
Ta có:
∫lnx dx = xlnx – ∫x.(1/x)dx
= xlnx – ∫dx
= xlnx – x + C
Kết quả:
∫lnx dx = xlnx – x + C
Ví dụ 3: Tính ∫x².e^x dx
Chọn:
u = x² ⇒ du = 2x dx
dv = e^x dx ⇒ v = e^x
Ta có:
∫x².e^x dx = x²e^x – ∫2x.e^x dx
Tiếp tục dùng Nguyên hàm từng phần cho ∫x.e^x dx.
Kết quả cuối:
= e^x(x² – 2x + 2) + C
Đây là ví dụ cho thấy đôi khi phải dùng nhiều lần.
Sai lầm thường gặp khi học Nguyên hàm từng phần
Chọn u không hợp lý
Nhiều bạn chọn e^x làm u trong bài ∫x.e^x dx khiến bài toán dài hơn.
Quên dấu trừ
Công thức có dạng:
∫u dv = uv – ∫v du
Dấu trừ rất dễ bị quên.
Tính sai v
Nếu tìm nguyên hàm của dv sai thì toàn bộ bài giải sai.
Không rút gọn kết quả
Sau khi tính xong nên nhóm nhân tử chung hoặc viết gọn biểu thức.
Mẹo học nhanh Nguyên hàm từng phần
Ghi nhớ bản chất thay vì học vẹt
Hiểu rằng đây là hệ quả từ đạo hàm tích sẽ giúp bạn nhớ lâu hơn.
Luyện nhận dạng đề
Chỉ cần nhìn biểu thức và biết ngay có phải dùng Nguyên hàm từng phần hay không.
Thuộc quy tắc LIATE
Đây là mẹo cực kỳ hữu ích để chọn u nhanh.
Làm nhiều bài tập mẫu
Càng luyện nhiều, phản xạ càng tốt và ít sai hơn.
Bài tập tự luyện
Hãy thử tự giải các bài sau bằng Nguyên hàm từng phần:
- ∫x.sinx dx
- ∫x.e^2x dx
- ∫x².cosx dx
- ∫ln(2x) dx
- ∫x.lnx dx
Sau khi làm xong, bạn nên kiểm tra lại bằng cách lấy đạo hàm kết quả.
Tại sao Nguyên hàm từng phần quan trọng?
Trong đề thi THPT Quốc gia, nguyên hàm và tích phân là chuyên đề xuất hiện thường xuyên. Nhiều bài toán nâng cao đều cần kết hợp Nguyên hàm từng phần với đổi biến số hoặc biến đổi đại số. Nếu nắm chắc phương pháp này, bạn sẽ xử lý tốt nhiều dạng bài khó hơn.
Ngoài ra, khi học đại học các ngành kỹ thuật, kinh tế, công nghệ, phương pháp này còn tiếp tục được sử dụng trong giải tích.
Học sinh tham gia sự kiện tư vấn Hội thảo tại Toan.vn
Tổng kết
Nguyên hàm từng phần là phương pháp không thể thiếu khi học nguyên hàm và tích phân. Chỉ cần nhớ công thức ∫u dv = uv – ∫v du, biết cách chọn u hợp lý và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ thấy dạng toán này không hề khó. Điều quan trọng là nhận diện đúng bài toán và biến nguyên hàm phức tạp thành dạng đơn giản hơn. Hy vọng bài viết Nguyên hàm từng phần dễ hiểu đã giúp bạn nắm chắc kiến thức, tự tin giải bài tập và đạt điểm cao trong các kỳ thi sắp tới.
Xem thêm: Công thức đạo hàm cơ bản cần ghi nhớ
20-04-2026
