Tổng hợp công thức đạo hàm lớp 12 đầy đủ

Trong chương trình Toán THPT, đạo hàm là một trong những chuyên đề quan trọng nhất của lớp 12. Đây là nền tảng để học sinh giải quyết nhiều dạng toán như khảo sát hàm số, tìm cực trị, xét tính đơn điệu, tiếp tuyến, tối ưu hóa và nhiều bài toán thực tế. Vì vậy, việc ghi nhớ công thức đạo hàm lớp 12 là điều bắt buộc nếu muốn đạt điểm cao trong các kỳ thi quan trọng.

Tuy nhiên, nhiều học sinh thường học thuộc rời rạc, thiếu hệ thống nên dễ nhầm lẫn giữa các công thức. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn tổng hợp đầy đủ, logic và dễ nhớ nhất toàn bộ kiến thức cần thiết về đạo hàm lớp 12, từ cơ bản đến nâng cao. Cùng Toan.vn tìm hiểu nhé!

Đạo hàm là một trong những chuyên đề quan trọng nhất của lớp 12

Đạo hàm là gì?

Đạo hàm là công cụ dùng để đo tốc độ biến thiên của hàm số tại một điểm. Hiểu đơn giản, đạo hàm cho biết hàm số đang tăng nhanh hay giảm nhanh tại vị trí xét.

Trong chương trình lớp 12, đạo hàm được ứng dụng mạnh vào các dạng toán:

• Xét đồng biến, nghịch biến của hàm số
• Tìm cực đại, cực tiểu
• Viết phương trình tiếp tuyến
• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
• Giải các bài toán tối ưu thực tế
• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Do đó, nắm chắc công thức đạo hàm lớp 12 sẽ giúp việc học các chuyên đề sau trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.

Các công thức đạo hàm lớp 12 cơ bản cần nhớ

Đây là nhóm công thức nền tảng xuất hiện thường xuyên nhất trong bài tập và đề thi.

Đạo hàm của hằng số

Nếu $y=C$ thì:

y′=0y’=0y′=0

Ví dụ:

• (5)′=0(5)’ = 0(5)′=0
• (−3)′=0(-3)’ = 0(−3)′=0

Đạo hàm của biến số

Nếu $y=x$ thì:

(x)′=1(x)’=1(x)′=1

Đạo hàm của lũy thừa

Nếu y=xny = x^ny=xn thì:

(xn)′=nxn−1(x^n)’=nx^{n-1}(xn)′=nxn−1

Ví dụ:

• (x2)′=2x(x^2)’ = 2x(x2)′=2x
• (x5)′=5×4(x^5)’ = 5x^4(x5)′=5x4

Đây là công thức quan trọng nhất trong hệ thống công thức đạo hàm lớp 12.

Công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Khi hàm số có nhiều biểu thức kết hợp, học sinh cần dùng các quy tắc sau.

Đạo hàm của tổng và hiệu

Nếu $y=u\pm v$ thì:

(u±v)′=u′±v′(u\pm v)’=u’\pm v’(u±v)′=u′±v′

Đạo hàm của tích

Nếu $y=uv$ thì:

(uv)′=u′v+uv′(uv)’=u’v+uv’(uv)′=u′v+uv′

Ví dụ:

y=x(x2+1)y = x(x^2+1)y=x(x2+1)

Ta có:

y′=1(x2+1)+x(2x)=3×2+1y’ = 1(x^2+1)+x(2x)=3x^2+1y′=1(x2+1)+x(2x)=3x2+1

Đạo hàm của thương

Nếu y=uvy = \dfrac{u}{v}y=vu​ thì:

(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}(vu​)′=v2u′v−uv′​

Điều kiện: v≠0v \ne 0v=0

Đây là nhóm công thức thường xuất hiện trong các câu vận dụng cao.

Công thức đạo hàm lượng giác lớp 12

Phần lượng giác luôn có mặt trong đề thi tốt nghiệp THPT. Vì vậy học sinh cần học thuộc chính xác.

Đạo hàm sin, cos

(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)’=\cos x(sinx)′=cosx

(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)’=-\sin x(cosx)′=−sinx

Đạo hàm tan và cot

(tan⁡x)′=1cos⁡2x(\tan x)’=\frac{1}{\cos^2 x}(tanx)′=cos2x1​

(cot⁡x)′=−1sin⁡2x(\cot x)’=-\frac{1}{\sin^2 x}(cotx)′=−sin2x1​

Đây là phần nhiều học sinh dễ nhầm dấu âm, cần chú ý.

Công thức đạo hàm hàm mũ và logarit

Đây là chuyên đề quan trọng trong chương trình lớp 12 nâng cao và xuất hiện nhiều trong đề thi.

Hàm mũ

(ex)′=ex(e^x)’=e^x(ex)′=ex

(ax)′=axln⁡a(a^x)’=a^x\ln a(ax)′=axlna

Hàm logarit

(ln⁡x)′=1x(\ln x)’=\frac{1}{x}(lnx)′=x1​

(log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)’=\frac{1}{x\ln a}(loga​x)′=xlna1​

Nhóm này thường dùng khi giải phương trình mũ và logarit.

Công thức đạo hàm hàm hợp lớp 12

Đây là phần nâng cao nhưng cực kỳ quan trọng.

Nếu $y=f(u)$, với $u=u(x)$, thì:

y′=f′(u)⋅u′y’=f'(u)\cdot u’y′=f′(u)⋅u′

Ví dụ:

$y=\sin (2x)$

Ta có:

y′=cos⁡(2x)⋅2=2cos⁡(2x)y’ = \cos(2x)\cdot2 = 2\cos(2x)y′=cos(2x)⋅2=2cos(2x)

Hay:

y=(3x+1)5y = (3x+1)^5y=(3x+1)5

y′=5(3x+1)4⋅3=15(3x+1)4y’ = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4y′=5(3x+1)4⋅3=15(3x+1)4

Trong toàn bộ công thức đạo hàm lớp 12, đây là kỹ năng rất hay xuất hiện ở mức độ vận dụng.

Bảng tổng hợp công thức đạo hàm lớp 12 ngắn gọn

Công thức cơ bản

• C′=0C’ = 0C′=0
• x′=1x’ = 1x′=1
• (xn)′=nxn−1(x^n)’ = nx^{n-1}(xn)′=nxn−1

Quy tắc tính

• (u+v)′=u′+v′(u+v)’ = u’+v’(u+v)′=u′+v′
• (uv)′=u′v+uv′(uv)’ = u’v+uv’(uv)′=u′v+uv′
• (u/v)′=(u′v−uv′)/v2(u/v)’ = (u’v-uv’)/v^2(u/v)′=(u′v−uv′)/v2

Lượng giác

• (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)’ = \cos x(sinx)′=cosx
• (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)’ = -\sin x(cosx)′=−sinx
• (tan⁡x)′=1/cos⁡2x(\tan x)’ = 1/\cos^2x(tanx)′=1/cos2x

Mũ – Logarit

• (ex)′=ex(e^x)’ = e^x(ex)′=ex
• (ln⁡x)′=1/x(\ln x)’ = 1/x(lnx)′=1/x

Cách học thuộc công thức đạo hàm hiệu quả

Nhiều học sinh học mãi không nhớ vì chỉ đọc chay. Muốn ghi nhớ nhanh công thức đạo hàm lớp 12, bạn nên áp dụng các cách sau:

Học theo nhóm công thức

Chia thành 4 nhóm:

• Cơ bản
• Quy tắc tính
• Lượng giác
• Mũ và logarit

Khi học theo cụm, não sẽ ghi nhớ nhanh hơn.

Làm bài tập ngay sau khi học

Mỗi công thức nên làm ít nhất 5 bài áp dụng. Khi sử dụng nhiều lần, bạn sẽ nhớ rất lâu.

Tạo sơ đồ tư duy

Viết toàn bộ công thức ra giấy A4 theo màu sắc khác nhau giúp tăng khả năng ghi nhớ.

Lỗi thường gặp khi dùng công thức đạo hàm lớp 12

Trong quá trình làm bài, học sinh thường sai ở những lỗi sau:

• Quên nhân thêm đạo hàm bên trong ở hàm hợp
• Nhầm dấu âm của cosx và cotx
• Sai quy tắc thương
• Tính nhầm lũy thừa sau khi lấy đạo hàm
• Bỏ sót điều kiện xác định của logarit

Chỉ cần tránh các lỗi này, điểm số có thể tăng rõ rệt.

Học sinh đang học tập tại Toan.vn

Tổng kết

Trên đây là Tổng hợp công thức đạo hàm lớp 12 đầy đủ dành cho học sinh đang ôn tập và chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng. Việc nắm chắc toàn bộ công thức đạo hàm lớp 12 không chỉ giúp giải nhanh các bài toán đạo hàm mà còn là nền tảng để học tốt khảo sát hàm số, cực trị, tiếp tuyến và tối ưu hóa. Toan.vn chúc bạn thành công!

Xem thêm: Công thức đạo hàm cơ bản cần ghi nhớ