Toán cấp 3 được xem là giai đoạn quan trọng nhất đối với học sinh THPT bởi đây là nền tảng để chinh phục các kỳ thi học kỳ, thi tốt nghiệp THPT và xét tuyển đại học. Việc nắm chắc hệ thống kiến thức và công thức toán cấp 3 không chỉ giúp học sinh học tập hiệu quả hơn mà còn tiết kiệm đáng kể thời gian làm bài trong các đề kiểm tra. Bài viết này sẽ tổng hợp nhanh công thức Toán cấp 3 theo từng chuyên đề trọng tâm, giúp bạn dễ tra cứu, dễ ghi nhớ và vận dụng linh hoạt trong quá trình học. Cùng Toan.vn tìm hiểu nhé!
Toán cấp 3 là giai đoạn quan trọng nhất đối với học sinh THPT
Công thức Toán cấp 3 môn Đại số
Công thức về hàm số bậc nhất và bậc hai
Hàm số bậc nhất y = ax + b có hệ số góc a thể hiện độ dốc của đường thẳng. Đồ thị luôn là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ b. Hai đường thẳng song song khi chúng có cùng hệ số góc và vuông góc khi tích hệ số góc bằng -1.
Hàm số bậc hai y = ax² + bx + c có đồ thị là parabol nhận trục đối xứng x = -b/2a. Đỉnh parabol nằm tại tọa độ (-b/2a, -Δ/4a) với Δ = b² – 4ac. Công thức xác định chiều bề lõm phụ thuộc vào dấu của a, nếu a > 0 parabol quay bề lõm lên trên, nếu a < 0 parabol quay bề lõm xuống dưới.
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm theo công thức x = (-b ± √Δ) / (2a). Trong đó Δ = b² – 4ac.
Trường hợp Δ = 0 phương trình có nghiệm kép x = -b/(2a).
Trường hợp Δ < 0 phương trình vô nghiệm trong tập số thực.
Ngoài ra còn có công thức nghiệm thu gọn khi b chẵn với Δ’ = b’² – ac và nghiệm là x = (-b’ ± √Δ’) / a.
Công thức lũy thừa và logarit
Các quy tắc lũy thừa cơ bản bao gồm a^m × a^n = a^(m+n) và a^m / a^n = a^(m-n). Lũy thừa của lũy thừa có dạng (a^m)^n = a^(mn).
Trong logarit, quy tắc log(a × b) = log a + log b, log(a / b) = log a – log b, log(a^k) = k log a là những công thức trọng tâm. Logarit cơ số a của a luôn bằng 1 và logarit cơ số a của 1 bằng 0.
Công thức cấp số cộng và cấp số nhân
Với cấp số cộng có công thức số hạng tổng quát uₙ = u₁ + (n – 1)d. Tổng n số hạng đầu Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2.
Cấp số nhân có công thức uₙ = u₁ × q^(n-1). Tổng n số hạng đầu với q ≠ 1: Sₙ = u₁(1 – qⁿ)/(1 – q).
Công thức Toán cấp 3 môn Hình học
Công thức vectơ trong hình học Oxy
Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ AB được tính bằng (xB – xA, yB – yA). Độ dài vectơ v = (a, b) được tính bằng √(a² + b²). Hai vectơ vuông góc khi tích vô hướng bằng 0. Tích vô hướng của vectơ u = (a, b) và v = (c, d) là ac + bd. Đây là công cụ quan trọng để chứng minh vuông góc, song song hoặc tìm góc giữa hai vectơ.
Công thức khoảng cách trong mặt phẳng
Khoảng cách giữa hai điểm A(x1, y1) và B(x2, y2) là √((x2 – x1)² + (y2 – y1)²). Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng ax + by + c = 0 là |ax0 + by0 + c| / √(a² + b²).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ax + by + c1 = 0 và ax + by + c2 = 0 được tính bằng |c1 – c2| / √(a² + b²).
Công thức đường thẳng và đường tròn
Đường thẳng có phương trình tổng quát ax + by + c = 0. Phương trình tham số dạng x = x0 + at và y = y0 + bt.
Đường tròn có tâm I(a, b) và bán kính R có phương trình (x – a)² + (y – b)² = R². Trong nhiều bài toán, công thức độ dài tiếp tuyến từ điểm M đến đường tròn cũng được dùng với MT² = MA² – R² khi A là tâm.
Công thức hình học không gian
Trong không gian, thể tích khối lăng trụ được tính bằng diện tích đáy nhân chiều cao. Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích diện tích đáy với chiều cao. Độ dài đường thẳng không gian được tính bằng √((x2 – x1)² + (y2 – y1)² + (z2 – z1)²).
Góc giữa hai đường thẳng hoặc hai mặt phẳng được xác định thông qua cosin góc bằng tích vô hướng hai vectơ chỉ phương chia cho tích độ dài của chúng.
Nắm chắc hệ thống kiến thức và công thức toán cấp 3 giúp học sinh tự tin khi làm bài thi
Công thức Toán cấp 3 môn Giải tích
Công thức đạo hàm
Đạo hàm của một hàm số là giới hạn tỉ số ∆y/∆x khi ∆x tiến tới 0. Các công thức đạo hàm cơ bản gồm đạo hàm của xⁿ là nx^(n-1). Đạo hàm của sin x là cos x, của cos x là -sin x, của tan x là 1/cos² x. Đạo hàm của e^x bằng chính nó và đạo hàm log a (x) là 1/(x ln a). Các quy tắc đạo hàm như đạo hàm tích, thương và đạo hàm hàm hợp được áp dụng thường xuyên.
Công thức tích phân
Tích phân không xác định có dạng ∫f(x) dx = F(x) + C. Các công thức tích phân cơ bản gồm ∫xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) + C với n ≠ -1. Tích phân sin x bằng -cos x và tích phân cos x bằng sin x.
Tích phân xác định ∫a→b f(x) dx được tính bằng F(b) – F(a). Tích phân diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị f(x) và trục hoành là ∫a→b |f(x)| dx.
Phương pháp đổi biến và từng phần là hai kỹ thuật quan trọng để tính các tích phân phức tạp.
Công thức số phức
Số phức z = a + bi có môđun |z| = √(a² + b²). Số phức liên hợp là a – bi. Phép nhân số phức tuân theo quy tắc i² = -1. Biểu diễn số phức dạng lượng giác có modulus r và argument φ là z = r(cos φ + i sin φ). Công thức Moivre nêu rằng zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ). Các bài toán phương trình bậc hai trong tập số phức thường mở rộng thêm việc tìm nghiệm khi Δ < 0.
Công thức tổ hợp và xác suất
Công thức chỉnh hợp và tổ hợp
Chỉnh hợp chập k của n phần tử là A(n, k) = n!/(n – k)!. Tổ hợp chập k của n phần tử là C(n, k) = n!/(k!(n – k)!). Hoán vị của n phần tử là P(n) = n!. Công thức khai triển nhị thức Newton được trình bày dưới dạng (a + b)ⁿ = ΣC(n, k) a^(n-k)b^k.
Công thức xác suất
Xác suất của biến cố A trong không gian mẫu gồm n phần tử là P(A) = số kết quả thuận lợi chia tổng số kết quả có thể. Tính độc lập giữa hai biến cố A và B được đặc trưng bởi P(A ∩ B) = P(A)P(B). Xác suất có điều kiện P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B). Đây là nhóm công thức trọng tâm xuất hiện nhiều trong các bài thi tốt nghiệp.
Học sinh đang học tập tại Toan.vn
Kết bài
Việc hệ thống lại toàn bộ công thức toán cấp 3 giúp học sinh có cái nhìn tổng quan và dễ dàng ghi nhớ từng phần kiến thức. Khi nắm chắc các nhóm công thức từ đại số, hình học đến giải tích và xác suất tổ hợp, bạn có thể giải quyết hầu hết dạng bài xuất hiện trong chương trình THPT cũng như trong đề thi tốt nghiệp. Bài viết tổng hợp nhanh công thức toán cấp 3 này hy vọng giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học và ôn luyện. Hãy thường xuyên luyện tập, áp dụng công thức vào thực tế bài tập để ghi nhớ lâu hơn và đạt kết quả cao nhất trong những kỳ thi quan trọng trước mắt. Toan.vn chúc bạn thành công!
Xem thêm: Các công thức Toán lớp 9 ôn thi vào 10
14-11-2025
